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As Operações do Cálculo
Diferencial e Integral:

Parte IV – Integral

 

João Cardoso Pereira Netto
(Univ. Mogi das Cruzes)

 

Uma equação diferencial é uma equação que envolve derivadas e/ou diferenciais, uma vez que é possível transformar uma derivada em uma equação diferencial. O Cálculo Integral [1a - 4a], cujo primeiro objetivo é obter uma função na forma macroscópica, a partir da sua representação diferencial fecha, num certo sentido, a análise deste assunto:

A integral é um operador aplicado sobre uma diferencial, com o objetivo de recuperar a função que foi diferenciada ou derivada; a operação matemática que esse operador executa chama-se integração. O objetivo de uma integração é obter um número ou uma relação explícita entre variáveis.

As integrais podem ser classificadas em três tipos:

a) integrais indefinidas;

b) integrais definidas;

c) integrais impróprias.

As propriedades e características desses tipos de integração surgem dos processos de obtenção das regras de integração.

Integral Indefinida

Com o objetivo de mostrar as regras para integração, vamos começar dos seus resultados mais simples, envolvendo funções polinomiais. Assim, já sabemos que a derivada de uma constante é igual a zero, isto é, dada a função

y  =  a     ----------       =  0

Como é possível a partir desta última relação obter a função original? Utilizando propriedade dos diferenciais, podemos escrever:

dy  =  0.dx  =  0

Integrando, vem:

O primeiro membro desta equação deve reproduzir a variável dependente y; isto pode ser obtido através da operação:

 =  y

a partir da qual se obtém a primeira regra de integração: o operador integral anula a ação do operador diferencial, isto é, eles são opostos. Deve-se observar no entanto que existe uma ordem para que os dois operadores se anulem: o operador integral deve atuar, pela esquerda, sobre o operador diferencial. Esta é uma diferença marcante em relação aos operadores algébricos (soma e subtração, multiplicação e divisão) que não dependem da ordem dada. Costuma-se dizer que essa operação transforma-se no operador unitário:

 =  1

Com relação ao segundo membro da equação, como a função original não contém a variável x, pode-se escrever:

que resulta na segunda regra de integração: a integral do produto de uma constante pela variável de integração é igual ao produto da constante pela integral da variável de integração; em outras palavras, a constante pode ser retirada para fora da integral. É interessante observar que matematicamente essa regra contém a primeira; contudo, o objetivo da primeira regra é mostrar a forma de anular a ação dos dois operadores. Retornando à integração anterior, somente essas duas regras não reproduzem a função original (falta a constante a). Considerando que o processo de derivação (ou de diferenciação) provoca a perda de informação da função, estabelecemos uma terceira regra, que consiste em introduzir uma constante na operação de integração, a fim de reproduzir a função original, isto é:

 +  C1                                                      (1)

onde C1 é denominada de constante de integração. Rigorosamente, a constante de integração deve ser introduzida em cada termo que está sendo integrado. Assim, para a equação anterior, teríamos:

  +  C1'  =    +  C2'

Mas, como essa expressão pode ser adaptada para:

  =    +  C2' - C1'

que pode ser escrita como

  =    +  C1

uma vez que a diferença entre duas constantes é uma constante, é comum expressar que é suficiente introduzir uma constante de integração em um dos membros da equação que está sendo integrada. Este tipo de integral é denominado integral indefinida. Com essas regras, a função original é obtida:

y  =  C1

A obtenção do valor correto da constante C1 é um dos problemas clássicos do Cálculo, sendo denominado "problema do valor de contorno". É através do seu valor ou da expressão que essa constante representa, que se identifica a equação obtida através do cálculo com o fenômeno estudado. Com procedimento análogo, as outras regras de integração podem ser obtidas. Considerando agora um caso mais genérico, seja y = f(x) um função qualquer e f'(x) sua derivada:

y  =  f(x)     e      =  f'(x)

a partir da qual se pode escrever:

dy  =  f'(x).dx

Integrando essa última expressão, vem:

  +  C1            

ou

y  =    +  C1                                                   (2)

Integral Definida

Uma pergunta que pode ser feita é a seguinte: é possível proceder à integração sem o aparecimento da constante C1?.  A eliminação da constante de integração pode ser obtida através de um tipo de integral chamado de integral definida, que é uma integral cujo processo de integração deve ser realizado entre dois valores da variável de integração.

A integral definida é representada por:

   ou  

A eliminação de C1 é obtida através da seguinte operação:

                                    (3)

Este resultado é na verdade uma simplificação do teorema fundamental do Cálculo, através do qual se afirma que [1b - 4b]:

                                               (4)

onde f(x) é a derivada de F(x). É evidente que f(x) deve ser uma função contínua no intervalo [a, b].

Há uma diferença importante entre a integral definida e a integral indefinida: a integral definida é representada por um número, enquanto que a integral indefinida por uma função (ou uma família de funções).

Um resultado importante da representação anterior é que a integral, no primeiro membro da Eq. (4) corresponde à área sob a curva compreendida entre a e b.

                       

Fig. 1- Representação da integral por uma área

A partir da integral definida é possível obter uma função, desde que um dos limites de integração seja considerado uma variável, como por exemplo, na forma:

Como a variável x nesta última expressão tem dois significados diferentes, como limite e como variável de integração, é comum proceder à seguinte substituição:

Integral Imprópria

Quando a partir de uma integral definida se faz o limite superior tender a infinito ou o inferior tender a menos infinito,

     ou                                                 (5)

onde f(x) deve ser uma função contínua nesse novo intervalo, obtém-se um novo tipo de integral denominado de integral imprópria. Se o resultado da integração produzir um valor finito, diz-se que a integral converge; em caso contrário, que diverge.

As integrais impróprias são muito comuns em várias áreas das Ciências Exatas, como na Teoria Cinética dos Gases, no estudo de forças entre partículas quando a distância tende a infinito, quando uma variável espacial procura cobrir todo seu campo de definição, etc.

São várias as técnicas para resolver as integrais. Todas são muito bem desenvolvidas nos livros de Cálculo Diferencial e Integral [1-4].

Uma das técnicas que tem larga aplicação é a da integração por partes, que se baseia no conceito de diferencial. Suponha que se deseja calcular a integral:

Lembrando que

d(u.v)  =  u.dv  +  v.du                                                  (6)

integrando, vem;

                                                 (7)

ou

  =  u.v  -    +  C1                                            (8)

 


Referências Bibliográficas

1- Simmons, G. F., Cálculo com Geometria Analítica, vol. 1, Makron Books do Brasil Editora Ltda, S. P., 1987, a) pg. 231, b) pg. 278;

2- Munem, A. M. e Foulis, D. J., Cálculo, vol. 1, Guanabara Dois, R. J., 1982, a) pg. 303; b) pg. 287;

3- Kaplan, W., Cálculo Avançado, vol. 1, Editora da Universidade de São Paulo, S. P., 1972, a) pg. 24; b) pg. 26;

4- Thomas Jr, G. B. e Finney, R. L., Cálculo Diferencial e Integral, vol. 1, Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., R. J., 1982, a) pg. 193; b) pg. 220;