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Diferencial e Integral:Parte III – Derivada
João Cardoso Pereira Netto
(Univ. Mogi das Cruzes)
A derivada surge como um caso particular de um limite; assim, dada a função y = f(x), a partir das diferenças D x e D y, o limite:
lim
=
(1)
D x ® 0
é, por definição [1a - 4a] , a derivada de y em relação a x, e se escreve como:
ou
A primeira representação é devida a Newton, e a segunda, a Leibnitz; a facilidade de manuseio da segunda forma é que permitiu um rápido desenvolvimento dessa nova ferramenta matemática.
São comuns as interpretações da derivada: geométrica e trigonométrica, isto é, geometricamente, a derivada é a reta tangente à uma curva de uma função qualquer y = f(x), em um ponto x0 da mesma (daí a importância de se definir derivada em um ponto x0), enquanto que trigonometricamente, seu valor é igual à tangente que essa reta faz com o eixo dos x. É importante deixar claro que não são duas interpretações independentes como parece, mas são formas de interpretar que se complementam.
Fig. 1- Interpretações da Derivada
Deste modo, pode-se escrever:
= tg a (2)
A derivada é um operador que atua em uma função matemática; contudo, é importante notar que ela gera uma dependência entre duas funções. No exemplo anterior, entre y e x. É essa dependência que obriga que o operador derivada seja expresso na forma:
[f(x)] ou
Obtenção da Função Derivada
O objetivo é apresentar o significado de uma função derivada e como ela se relaciona com a função que lhe deu origem. Ao mesmo tempo, deseja-se mostrar, através de um caso particular, como foram construídas as regras de derivação. Para isso, tomando como exemplo uma função polinomial do tipo:
y = f(x) = a + b.x + c.x² (3)
considere as várias funções obtidas a partir dela, desde a função constante, y = a , até aquela representada pela função do 2ºgrau, e suas derivadas.
A- Derivada da Função Constante
A função constante y = a tem por gráfico uma reta paralela à abscissa.
Fig. 2- Gráfico da Função Constante
Como a tangente à “curva” em qualquer ponto é igual a zero, e como a tangente é a derivada, tem-se:
(4)
fornecendo a primeira regra de derivação: a derivada de uma constante é zero. Considerando a função y’ = 0, sua representação no gráfico y’ x x é a reta que coincide com o eixo dos x. Pensando somente no eixo y', pode-se dizer que essa função está representada pelo ponto 0.
Fig. 3- Gráfico da Função y’ = 0
Assim, a derivada da equação da reta y = a, paralela à abscissa, transforma-se em um ponto.
B- Derivada da Equação Geral da Reta
Considerando a equação da reta:
y = a + b.x (5)
e supondo a e b positivos, sua representação no diagrama y vs. x será:
Fig. 4- Gráfico da Equação da Reta: y = a + b.x
Como a tangente em cada ponto da reta é dada pelo seu coeficiente angular, tem-se:
tg a 1 = b
de forma que, em função dos seus significados, a derivada da equação da reta será:
(6)
É importante observar, neste ponto, que a operação de derivação traz como conseqüência a perda de informação acerca da função; para este caso, somente com a derivada não é possível saber se a reta passa pela origem ou não. Aplicando em seguida o operador
à equação da reta,
o mesmo resultado anterior é obtido, através das seguintes operações: supondo que a derivada de uma soma seja igual à soma das derivadas, vem:
mas, pelo caso anterior,
e supondo que
tem-se:
y' =
e
(7)
que coincide com a Eq. (6), transformando-se na regra da derivada do produto de uma constante pela variável independente x. Considerando em seguida a função y’ = b, sua representação será a de uma reta paralela a abscissa.
Fig. 5- Gráfico da Função: y’ = b
Seguindo o mesmo procedimento do caso anterior, e empregando as regras já estabelecidas, a derivada de y’, chamada de derivada segunda, será:
ou
e portanto,
ou y’’ = 0 (8)
C- Derivada da Equação do 2º Grau
Considere a equação do 2º grau
y = a + b.x + c.x² (3)
para a qual supõe-se que a > 0 , b < 0 e c > 0. Como a > 0, sua representação será de uma parábola com ponto de mínimo.
Fig. 6- Gráfico da Função do 2º grau: y = a + b.x + c.x²
O objetivo é calcular a derivada da Eq. (3) no ponto M(x,y). Em primeiro lugar deve-se traçar a reta r, tangente à função em M, que define o coeficiente angular dado por:
Uma vez que o valor da derivada é o coeficiente angular da reta tangente à curva num ponto dado, tem-se:
-----
Os catetos do triângulo retângulo MNS são:
e
uma vez que SN = AS. Portanto,
mas y - a = c.x² + b.x, logo,
=
que para
pode ser simplificada, de modo que:
e portanto,
(9)
Para x = -
, a relação anterior transforma-se numa indeterminação que é retirada através do próprio conceito de derivada; nestas condições, a Eq. (9) é válida para todo x e é a derivada da equação do 2º grau. Considerando agora a função:
y’ = 2c.x + b
sua representação é de uma reta, conforme a Fig. 7.
Fig. 7- Gráfico da Função: y’ = 2cx + b
Em primeiro lugar deve-se notar que os pontos A e M da Fig. 7 estão em correspondência com os pontos A e M da Fig. 6; portanto, pode-se concluir que os valores das tangentes em cada ponto da parábola (isto é, a derivada) estão definidos pela reta cuja equação é a derivada da equação do 2º grau, Eq. (9).
Procedendo como nos casos anteriores, as derivadas de ordem superior serão dadas por:
------
e
ou
Com esses resultados é possível construir “regras” para que se possa obter a derivada a partir da equação do 2º grau, e de monômios de qualquer grau, sem o malabarismo feito anteriormente. Assim, derivando a equação do 2º grau,
e supondo que a derivada de uma soma seja a soma das derivadas, aplicando as regras já estabelecidas, vem:
e
=
de forma que a derivada é obtida, se for adotada a seguinte regra:
Portanto,
y’ = b + 2.c.x
que é a Eq. (9).
É interessante observar que através dos significados geométrico e trigonométrico obtém-se o valor ou a expressão da derivada de uma função; em seguida, são construídas regras para obter o mesmo resultado.
Da análise dos três casos anteriores, pode-se obter, por indução, as seguintes conseqüências:
1- a derivada de uma função polinomial é a soma das derivadas dos seus monômios;
2- o processo de derivação de monômios reduz de uma unidade o grau do monômio, e pode ser obtido a partir da seguinte regra: dada a função:
y = a.xm (10)
sua derivada será:
(11)
3- a derivada de uma função num ponto dado, é o coeficiente angular (tangente trigonométrica) da reta tangente à curva nesse ponto;
4- a derivada é um operador matemático que transforma uma função em outra função;
5- considerando que a derivada de uma função contínua também é uma função contínua, o processo de derivação pode ser realizado sobre a própria derivada da função. Deste modo, com procedimento análogo são obtidas as derivadas de ordem superior, denominadas derivada 2ª, 3ª, etc.
6- a representação das derivadas 1ª, 2ª e 3ª é:
1ª -
2ª -
3ª -
Diferença entre Derivada e diferencial
Embora a derivada e a diferencial possuam as mesmas regras operacionais, esses dois operadores têm significados bastante diferentes. As diferenças mais marcantes são:
1- a derivada tem significado físico e pode gerar novas grandezas físicas, como por exemplo a velocidade e a aceleração; a diferencial é um operador com propriedades puramente matemáticas;
2- a derivada transforma uma função em outra, mantendo uma correspondência entre os pontos das duas funções (por exemplo, transforma uma função do segundo grau em uma função do primeiro grau); a diferencial é uma variação infinitesimal de uma grandeza;
3- a derivada é uma operação entre duas grandezas; a diferencial é uma operação que envolve uma grandeza;
4- o resultado de uma derivada não contém o infinitésimo em sua estrutura; consequentemente, não existe a integral de uma derivada; a integral só pode ser aplicada a um termo que contenha um diferencial (infinitésimo);
5- Se for feito o quociente entre os dois diferenciais, tem-se:
em total semelhança com a definição de derivada. A conseqüência direta desse fato é que a derivada não é o quociente entre duas diferenciais, mas comporta-se como se fosse esse quociente. Isto significa que a partir da relação:
é possível escrever:
dy = f(x).dx (12)
que se denomina equação diferencial.
6- uma das aplicações mais importantes envolvendo derivadas e diferenciais é a obtenção da equação diferencial, etapa fundamental para a introdução do Cálculo Integral.
Equação Diferencial
Equação diferencial é uma equação que relaciona uma função e suas derivadas ou diferenciais. Quando a equação possui derivadas, estas devem ser passadas para a forma diferencial. A ordem de uma equação diferencial é igual à ordem da maior derivada que se encontra nela. Um exemplo clássico de equação diferencial é a Lei da Distribuição Barométrica [5] cujo desenvolvimento físico - matemático conduz à equação:
dP = - q.g.dZ (13)
onde P é a pressão, q, a densidade do fluido, g é a aceleração da gravidade e Z é a altitude.
A resolução de uma equação diferencial envolve basicamente duas etapas: a primeira, que é a preparação da equação, que consiste em fazer com que cada termo da equação tenha, além de constantes, um único tipo de variável. A segunda etapa é a resolução da equação diferencial e consiste na aplicação dos métodos de integração.
Referências Bibliográficas
1- Simmons, G. F., Cálculo com Geometria Analítica, vol. 1, Makron Books do Brasil Editora Ltda, S. P., 1987, a) pg. 79;
2- Munem, A. M. e Foulis, D. J., Cálculo, vol. 1, Guanabara Dois, R. J., 1982, a) pg. 97;
3-Kaplan, W., Cálculo Avançado, vol. 1, Editora da Universidade de São Paulo, S. P., 1972, a) pg. 19;
4-Thomas Jr, G. B. e Finney, R. L., Cálculo Diferencial e Integral, vol. 1, Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., R. J., 1982, a) pg. 37;
5-Castellan, G., Fundamentos de Físico - Química, Livros Técnicos e Científicos Editora, R. J., 1995, pg. 23;